反復試行の確率の公式といろいろな例題

数学Aのテーマ：反復試行の確率について。公式の証明，コイン，サイコロ 数直線の例題，最大点を求める応用問題を解説。

反復試行の確率の公式より（ 0 ≤ k ≤ n 0\leq k\leq n 0 ≤ k ≤ n ）において P ( k ) = n C k p k ( 1 − p ) n − k = n ! k ! ( n − k ) ! p k ( 1 − p ) n − k P(k)=_n\mathrm_kp^k(1-p)^=\dfracp^k(1-p)^ P ( k ) = n ​ C k ​ p k ( 1 − p ) n − k = k ! ( n − k )! n ! ​ p k ( 1 − p ) n − k

ここで， P ( k ) P(k) P ( k ) と P ( k + 1 ) P(k+1) P ( k + 1 ) の大小関係を調べるために P ( k + 1 ) P ( k ) \dfrac P ( k ) P ( k + 1 ) ​ を計算する：

P ( k + 1 ) P ( k ) = k ! ( n − k ) ! ( k + 1 ) ! ( n − k − 1 ) ! p k + 1 ( 1 − p ) n − k − 1 p k ( 1 − p ) n − k = n − k k + 1 p 1 − p \dfrac=\dfrac\dfrac(1-p)^>>\\ =\dfrac\dfrac

P ( k ) P ( k + 1 ) ​ = ( k + 1 )! ( n − k − 1 )! k ! ( n − k )! ​ p k ( 1 − p ) n − k p k + 1 ( 1 − p ) n − k − 1 ​ = k + 1 n − k ​ 1 − p p ​

よって， P ( k + 1 ) ≥ P ( k ) P(k+1)\geq P(k) P ( k + 1 ) ≥ P ( k )

⟺ P ( k + 1 ) P ( k ) ≥ 1 \iff\dfrac \geq 1 ⟺ P ( k ) P ( k + 1 ) ​ ≥ 1

⟺ ( n − k ) p ≥ ( k + 1 ) ( 1 − p ) \iff (n-k)p\geq (k+1)(1-p) ⟺ ( n − k ) p ≥ ( k + 1 ) ( 1 − p )

⟺ k ≤ ( n + 1 ) p − 1 \iff k\leq (n+1)p-1 ⟺ k ≤ ( n + 1 ) p − 1

したがって， P ( k ) P(k) P ( k ) は k k k が小さいところでは単調増加，大きいところでは単調減少となり，その切り替わりの点で最大となる。

• ( n + 1 ) p (n+1)p ( n + 1 ) p が整数のとき k = ( n + 1 ) p − 1 k=(n+1)p-1 k = ( n + 1 ) p − 1 のとき上の不等式で等号が成立する，つまり P ( k ) = P ( k + 1 ) P(k)=P(k+1) P ( k ) = P ( k + 1 ) となる。よって，求める k k k は ( n + 1 ) p − 1 (n+1)p-1 ( n + 1 ) p − 1 と ( n + 1 ) p (n+1)p ( n + 1 ) p
• ( n + 1 ) p (n+1)p ( n + 1 ) p が整数でないとき P ( k ) > P ( k + 1 ) P(k) > P(k+1) P ( k ) > P ( k + 1 ) となる最小の k k k を求めればよい。つまり，上の不等式を満たさない最小の k k k を求めればよいので，求める k k k は ( n + 1 ) p (n+1)p ( n + 1 ) p の整数部分

実は市販のサイコロは全ての出る目の確率が 1 6 \dfrac 6 1 ​ ではありません。トリビアの泉でやっていました。

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る