底の変換公式の証明と例題
底の変換公式とその証明，例題，底の決め方について解説します。
a = 4 , b = 8 , c = 2 a=4,b=8,c=2 a = 4 , b = 8 , c = 2 として底の変換公式を使うと， log 4 8 = log 2 8 log 2 4 \log_4 8=\dfrac lo g 4 8 = lo g 2 4 lo g 2 8 となり底が 2 2 2 になった。 log 2 4 = 2 \log_2 4=2 lo g 2 4 = 2 ， log 2 8 = 3 \log_2 8=3 lo g 2 8 = 3 なので，右辺は 3 2 \dfrac 2 3 になる。
底の変換公式 log a b = log c b log c a \log_a b=\dfrac lo g a b = lo g c a lo g c b を証明してみましょう。証明に使うのは，以下の2つです。
- 対数の定義： log a b \log_a b lo g a b とは a d = b a^d=b a d = b を満たす d d d のこと
- 対数の性質： log c a X = X log c a \log_c a^X=X\log_c a lo g c a X = X lo g c a
「 a d = b a^d=b a d = b を満たす実数 d d d を log a b \log_a b lo g a b とする」というのが対数の定義であった。
つまり， a log a b = b a^=b a l o g a b = b が成立する。
両辺の対数を取る（底は c c c ）と，
log c a log a b = log c b \log_c a^=\log_c b lo g c a l o g a b = lo g c b
ここで，対数の性質： log c a X = X log c a \log_c a^X=X\log_c a lo g c a X = X lo g c a を用いて左辺を変形すると以下を得る。
log a b log c a = log c b \log_a b\log_c a=\log_c b lo g a b lo g c a = lo g c b
両辺を log c a \log_c a lo g c a で割ると底の変換公式を得る。
- 底の変換公式： log a b = log c b log c a \log_a b=\dfraclo g a b = lo g c a lo g c b を使うと，対数の底を a a a から c c c に変換できます。そのため，底の変換公式は，対数の底をそろえるために使われます。
- 底の決め方（いくつにそろえるか）で迷う人がいますが，後述の例題で見るように 底はなんでもOKです。
log 4 8 \log_4 8 lo g 4 8 を計算せよ。
底の変換公式を使って底を 2 2 2 にするのがスタンダードな考え方。
log 4 8 = log 2 8 log 2 4 = log 2 2 3 log 2 2 2 = 3 2 \log_4 8=\dfrac =\dfrac =\dfrac lo g 4 8 = lo g 2 4 lo g 2 8 = lo g 2 2 2 lo g 2 2 3 = 2 3
スタンダードであるだけで，底は 2 2 2 である必要はない。なんでもよい。
log 4 8 = log c 8 log c 4 = log c 2 3 log c 2 2 = 3 log c 2 2 log c 2 = 3 2 \log_4 8=\dfrac =\dfrac =\dfrac =\dfrac lo g 4 8 = lo g c 4 lo g c 8 = lo g c 2 2 lo g c 2 3 = 2 lo g c 2 3 lo g c 2 = 2 3
注：慣れていれば普通に 4 3 2 = 8 4^>=8 4 2 3 = 8 より log 4 8 = 3 2 \log_4 8=\dfrac lo g 4 8 = 2 3 ，と一瞬で計算できます。
log 3 5 log 5 7 log 7 9 \log_3 5\log_5 7\log_7 9 lo g 3 5 lo g 5 7 lo g 7 9 を計算せよ。
底は何でもいいが， 9 = 3 2 9 = 3^2 9 = 3 2 で 5 , 7 5,7 5 , 7 は素数であることから 3 3 3 にそろえるのがオススメ。
log 3 5 log 5 7 log 7 9 = log 3 5 log 3 3 log 3 7 log 3 5 log 3 9 log 3 7 = log 3 9 log 3 3 = 2 \begin &\log_3 5\log_5 7\log_7 9\\ &=\dfrac\dfrac\dfrac\\ &=\dfrac\\ &=2 \end lo g 3 5 lo g 5 7 lo g 7 9 = lo g 3 3 lo g 3 5 lo g 3 5 lo g 3 7 lo g 3 7 lo g 3 9 = lo g 3 3 lo g 3 9 = 2
もちろん底は 3 3 3 である必要はない。なんでもよい。
log 3 5 log 5 7 log 7 9 = log c 5 log c 3 log c 7 log c 5 log c 9 log c 7 = log c 9 log c 3 = log c 3 2 log c 3 = 2 log c 3 log c 3 = 2 \begin &\log_3 5\log_5 7\log_7 9\\ &=\dfrac\dfrac\dfrac\\ &=\dfrac\\ &=\dfrac\\ &=\dfrac\\ &=2 \end lo g 3 5 lo g 5 7 lo g 7 9 = lo g c 3 lo g c 5 lo g c 5 lo g c 7 lo g c 7 lo g c 9 = lo g c 3 lo g c 9 = lo g c 3 lo g c 3 2 = lo g c 3 2 lo g c 3 = 2
log 3 5 log 5 7 log 7 9 = log 3 9 = 2 \log_3 5\log_5 7\log_7 9=\log_3 9=2 lo g 3 5 lo g 5 7 lo g 7 9 = lo g 3 9 = 2 が分かります。
底の変換公式は，底の「 a → c a\to c a → c 」という変換です。 c c c がなんでも良いというのが面白いです。
東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る