ファンデルワールス力の導出・ファンデルワールス結合

ファンデルワールス力の導出・ファンデルワールス結合まあニュートンの運動方程式から解くのは無謀だろうから、解析力学の力を借りて、ハミルトニアンを使った正準方程式(下の式)で解くことにする。 \[\left\ \frac&=\frac \\\\ \frac&=-\frac \end\right.\] ハミルトニアンは、系の全エネルギーを求めればよい。まず運動エネルギー\(K\)は、

まあニュートンの運動方程式から解くのは無謀だろうから、解析力学の力を借りて、ハミルトニアンを使った正準方程式(下の式)で解くことにする。 \[\left\ \frac&=\frac \\\\ \frac&=-\frac \end\right.\] ハミルトニアンは、系の全エネルギーを求めればよい。まず運動エネルギー\(K\)は、 \[K=\fracm\ddot_1^2+\fracm\ddot_2^2=\frac+\frac \tag\] である。復元力による弾性エネルギー\(U_1\)は、 \[U_1=\frackx_1^2+\frackx_2^2 \tag\] となる。さらに静電気力によるエネルギー\(U_2\)は \[U_2=q^2\left(\frac + \frac - \frac - \frac\right)\] となる。わかるだろうか？今回は一つの原子内の電荷同士の静電気力をバネに預けてしまったからこういう形になる。とまあここまでは簡単。

(1), (2), (3)式を用いて、全エネルギー、すなわちハミルトニアンは、 \[\begin H&= K + U_1+U_2 \\ &= \frac+\frac + \frackx_1^2+\frackx_2^2 -\fracx_1x_2 \tag \end\] となる。では(4)を正準方程式に入れてしまおう。すると、運動量で微分する方では、 \[ \dot_1=\frac \] という式も出てくるが、これは当たり前の式なので気にしないでいい。重要なのは\(x_i\)で微分するほうだ。それを計算すると、 \[\left\ \sqrt \\\\ &\approx \sqrt> \left (1\pm \frac - \frac\left(\frac\right)^2\right) \end\] これによって(6)式を計算すると、下の結果が出る！ \[ \begin E_0 &= \sqrt> \left(1 - \frac\left(\frac\right)^2\right) \\\\ &= \omega_0 \left(1-\frac\right)\tag \end\] ただし\(\omega_0=\sqrt, A=2q^2/8k\)とした。

さて、この結果(6)式から、ファンデルワールス力が働くというのだが、わかるだろうか。物質というのは、いつでも持っているエネルギーを出来るだけ小さくしたい。(6)式をみると、原子間距離Rが小さくなれば、系のエネルギーも小さくなることがわかる。つまり、(6)式こそがファンデルワールス力の起源なのだ！