包絡線の求め方と例題

包絡線の定義，求め方，高校数学の問題への応用を解説します。偏微分を使いますが高校生でもだいたい理解できます。

曲線群 f ( x , y , t ) = 0 f(x,y,t)=0 f ( x , y , t ) = 0 の包絡線の方程式は f ( x , y , t ) = 0 f(x,y,t)=0 f ( x , y , t ) = 0 と ∂ ∂ t f ( x , y , t ) = 0 \dfracf(x,y,t)=0 ∂ t ∂ ​ f ( x , y , t ) = 0 から t t t を消去することで得られる。

今回は三変数 x , y , t x,y,t x , y , t の方程式（陰関数） f ( x , y , t ) = 0 f(x,y,t)=0 f ( x , y , t ) = 0 を考えます。 t t t を一つ固定すると x x x と y y y の関係式となり， x y xy x y 平面上における曲線が一つ得られます。つまり， f ( x , y , t ) = 0 f(x,y,t)=0 f ( x , y , t ) = 0 は x y xy x y 平面上の曲線群を表現するとみなせます。

x , y , t x,y,t x , y , t に関する等式 y = 2 t x − t 2 y=2tx-t^2 y = 2 t x − t 2 について考える。これは t t t を一つ固定すると x y xy x y 平面における直線になる。例えば

• t = 0 t=0 t = 0 のとき y = 0 y=0 y = 0 ，
• t = 1 t=1 t = 1 のとき y = 2 x − 1 y=2x-1 y = 2 x − 1

例えば，さきほど考えた曲線群（直線群） y = 2 t x − t 2 y=2tx-t^2 y = 2 t x − t 2 の包絡線は放物線 y = x 2 y=x^2 y = x 2 です（図参照）。これは以下のように確認できます：

y = x 2 y=x^2 y = x 2 の ( t , t 2 ) (t,t^2) ( t , t 2 ) における接線の方程式は（ y ′ = 2 x y'=2x y ′ = 2 x より） y = 2 t x − t 2 y=2tx-t^2 y = 2 t x − t 2 である。つまり， y = 2 t x − t 2 y=2tx-t^2 y = 2 t x − t 2 は ( t , t 2 ) (t,t^2) ( t , t 2 ) で y = x 2 y=x^2 y = x 2 と接する。つまり y = x 2 y=x^2 y = x 2 が包絡線である。

さきほどは包絡線の方程式 y = x 2 y=x^2 y = x 2 を天下り的に与えてしまいましたが，実際は曲線群の方程式 f ( x , y , t ) = 0 f(x,y,t)=0 f ( x , y , t ) = 0 が与えられたときに，包絡線の方程式が求めたくなります。

その方法は冒頭にも書きましたが 曲線群を表す方程式とそれを t t t で微分したものを連立させて t t t を消去 です。

曲線群を表す方程式： y − 2 t x + t 2 = 0 y-2tx+t^2=0 y − 2 t x + t 2 = 0

それを t t t で微分したもの： − 2 x + 2 t = 0 -2x+2t=0 − 2 x + 2 t = 0

この二式を連立させて t t t を消去する。二つ目の式より t = x t=x t = x となりこれを一つ目の式に代入すると， y = x 2 y=x^2 y = x 2 という包絡線の方程式が得られる。

直線群 y = 12 t 2 x − 16 t 3 ( t ≧ 0 ) y=12t^2x-16t^3\:(t\geqq 0) y = 12 t 2 x − 16 t 3 ( t ≧ 0 ) が通過する領域を求めよ。

（天下り的だが） y = x 3 y=x^3 y = x 3 の ( 2 t , 8 t 3 ) (2t,8t^3) ( 2 t , 8 t 3 ) における接線の方程式は

y − 8 t 3 = 12 t 2 ( x − 2 t ) y-8t^3=12t^2(x-2t) y − 8 t 3 = 12 t 2 ( x − 2 t )

y = 12 t 2 x − 16 t 3 y=12t^2x-16t^3 y = 12 t 2 x − 16 t 3

よって求める領域は y = x 3 y=x^3 y = x 3 における接線で接点の x x x 座標が非負のものをかき集めたものの通過領域である。 式で書くと， y ≦ 0 y\leqq 0 y ≦ 0 または 0 < y ≦ x 3 0 < y\leqq x^3 0 < y ≦ x 3 。図示は簡単なので略。

曲線群： y = 12 t 2 x − 16 t 3 y=12t^2x-16t^3 y = 12 t 2 x − 16 t 3

t t t で微分： 0 = 24 t x − 48 t 2 0=24tx-48t^2 0 = 24 t x − 48 t 2

この二つの式から t t t を消去する。二つ目の式より t = x 2 t=\dfrac t = 2 x ​ ，一つ目の式に代入して y = x 3 y=x^3 y = x 3

包絡線は分かった。次に接点を求める。 y = x 3 y=x^3 y = x 3 の ( s , s 3 ) (s,s^3) ( s , s 3 ) における接線の方程式は y = 3 s 2 x − 2 s 3 y=3s^2x-2s^3 y = 3 s 2 x − 2 s 3 である。これと問題文の式を比較して s = 2 t s=2t s = 2 t とする。以上の議論から y = x 3 y=x^3 y = x 3 の ( 2 t , 8 t 3 ) (2t,8t^3) ( 2 t , 8 t 3 ) における接線の方程式を考えればよいことが分かる！

「 f ( x , y , t ) = 0 f(x,y,t)=0 f ( x , y , t ) = 0 について t t t を一つ固定した曲線」と「求めたい包絡線」の接点を ( x ( t ) , y ( t ) ) (x(t),y(t)) ( x ( t ) , y ( t )) とおく。 x ( t ) x(t) x ( t ) と y ( t ) y(t) y ( t ) の関係式を導くのが目標である。

まず，接点ももとの曲線上にあるので f ( x ( t ) , y ( t ) , t ) = 0 f(x(t),y(t),t)=0 f ( x ( t ) , y ( t ) , t ) = 0 である。

次に ( x ( t ) , y ( t ) ) (x(t),y(t)) ( x ( t ) , y ( t )) において接することを式で表す。もとの曲線の法線方向が ( f x ( x , y , t ) , f y ( x , y , t ) ) (f_x(x,y,t),f_y(x,y,t)) ( f x ​ ( x , y , t ) , f y ​ ( x , y , t )) であることと包絡線の接線方向が ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) ) (x'(t),y'(t)) ( x ′ ( t ) , y ′ ( t )) であること(→補足)から， f x x ′ ( t ) + f y y ′ ( t ) = 0 f_xx'(t)+f_yy'(t)=0 f x ​ x ′ ( t ) + f y ​ y ′ ( t ) = 0

また，1の式を t t t で微分すると連鎖律より f x x ′ ( t ) + f y y ′ ( t ) + f t = 0 f_xx'(t)+f_yy'(t)+f_t=0 f x ​ x ′ ( t ) + f y ​ y ′ ( t ) + f t ​ = 0

この二式より f t ( x ( t ) , y ( t ) , t ) = 0 f_t(x(t),y(t),t)=0 f t ​ ( x ( t ) , y ( t ) , t ) = 0

x , y , t x,y,t x , y , t の関係式が二つ求まったので t t t を消去すれば x x x と y y y の関係式，つまり包絡線の方程式が求まる。

• 各 t t t に対して曲線 f ( x , y , t ) f(x,y,t) f ( x , y , t ) が滑らか なとき，曲線の法線方向は ( f x , f y ) (f_x,f_y) ( f x ​ , f y ​ ) になります。→法線ベクトルの3通りの求め方と応用
• t t t を動かしたときに接点 ( x ( t ) , y ( t ) ) (x(t),y(t)) ( x ( t ) , y ( t )) が滑らかに動く とき，その接線方向は ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) ) (x'(t),y'(t)) ( x ′ ( t ) , y ′ ( t )) になります。
• つまり，この証明では上記の 2つの紫文字の条件 が必要です。

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る