対数微分法

対数微分法、関連する問題と解き方についてわかりやすく解説します。

【解答と解説】 問題の関数は、\(\large0>\) であるため \(\large0>\) となります。両辺に自然対数をとると \begin \large \log y&\large =&\large \log x^x\\[0.5em] \large &\large =&\large x \log x\\[0.5em] \end ここで、両辺を\(\large\) で微分すると、合成関数の微分から \(\displaystyle\large>\) より \begin \large \frac\)

【解答と解説】 両辺の絶対値の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin \large \log |y|&\large =&\large \log \sqrt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac (\log |x+1| + \log |2x+1| )\\[0.5em] \end

与えられた関数を\(\large\)で微分すると、以下のようになります。 \begin \large \frac\\[0.5em] \large &\large =&\large \sqrt \cdot \frac \frac< 4x+3>\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac< 4x+3>\\[0.5em] \end となります。

【解答と解説】 両辺の絶対値の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin \large \log |y|&\large =&\large \log \left|\frac\right|\\[0.5em] \large &\large =&\large \log| (x+2)^3|-\log |(x-5)^5|\\[0.5em] \large &\large =&\large 3\log| x+2|-5 \log |x-5|\\[0.5em] \end

上記の式を\(\large\)で微分すると、以下のようになります。 \begin \large \frac\right)\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac \cdot \left( -\frac< 2x+25>\right)\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac\\[0.5em] \end となります。

【解答と解説】 両辺の絶対値の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin \large \log |y|&\large =&\large \log \sqrt[3]>\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac\log \left|\frac\right|\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac\left(\log |x^2-3| - \log |x^2-1|\right)\\[0.5em] \end

与えられた関数の両辺の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin \large \log y&\large =&\large \log x^>\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac \log x\\[0.5em] \end 両辺を \(\large\) で微分すると、以下のようになります。 \begin \large \frac\\[0.5em] \large &\large =&\large x^> \cdot \frac\\[0.5em] \large &\large =&\large x^-2>(1-\log x)\\[0.5em] \end となります。

与えられた関数の両辺の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin \large \log y&\large =&\large \log x^\\[0.5em] \large &\large =&\large \sin x \log x\\[0.5em] \end 両辺を \(\large\) で微分すると、以下のようになります。 \begin \large \frac\) となります。つまり、\(\large0>\) となります。

与えられた関数の両辺の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin \large \log y&\large =&\large \log x^\\[0.5em] \large &\large =&\large \log x \cdot \log x\\[0.5em] \large &\large =&\large (\log x)^2\\[0.5em] \end 両辺を \(\large\) で微分すると、以下のようになります。 \begin \large \frac\)

与えられた関数の両辺の自然対数をとると、以下のようになります。 \begin \large \log y&\large =&\large \log \hspace(\log x)^x\\[0.5em] \large &\large =&\large x \log \hspace(\log x)\\[0.5em] \end 両辺を \(\large\) で微分すると、以下のようになります。 \begin \large \frac\\[0.5em] \large &\large =&\large\log \hspace(\log x) + x \frac \\[0.5em] \large &\large =&\large \log \hspace (\log x) + \frac \\[0.5em] \end したがって、 \begin \large y\hspace' &\large =&\large y \cdot \left(\log \hspace(\log x) + \frac\right)\\[0.5em] \large &\large =&\large (\log x)^x\left(\log \hspace(\log x) + \frac\right)\\[0.5em] \end となります。