二次曲線の接線の方程式 公式と証明

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そして、接点を \((x_, y_)\) としていますから、放物線の式は

が成り立ちますね。 接点は放物線上の点 ですから。

さてここまでで準備は完了です。ここからやりたいことは単純で、 放物線と直線の方程式が一点で交わるような条件 を作ってあげます。

放物線に直線の式を代入した方程式が解を一つ持つ

放物線に直線の式を代入した方程式は重解を持ち、重解は接点の座標である

となります。つまり 代入してできた方程式の 解 \(x\) は \(x_\) である必要がある ということです。

この複雑な方程式は 直線と放物線の交点を求める方程式 ですね。今回はこの方程式は重解を持っている必要があります。なぜなら放物線と直線は接するからですね。

ここで少し思い出して欲しいのは、 二次方程式の解の公式 です。もちろん皆さんご存知の通り

でしたね。もしこの二次方程式が重解を持つのなら、 判別式 \(D=b^2-4ac=0\) です から、解は

です。つまり、重解は二次方程式の \(x^2\) と \(x\) の係数から

\(\displaystyle x=-\frac\)

今回の場合も 重解 となることが必要なので、その答えは

そしてさらに この答えは接点である必要がある ので

こんな式が得られたというわけです。僕たちは 自分たちで置いた傾き \(m\) が欲しい ので変形すると

放物線 \(y^2=4px\) の接点 \((x_,y_)\) における接線の方程式

楕円の接線の方程式を求める

ごちゃごちゃしていますが、とりあえずまとめられましたね。あとはこれの重解が \(x_\) であればいいので

が成り立つはずです。ここから \(m\) を出せば

双曲線の接線の方程式を求める

二次曲線の接線の方程式を並べてみてみよう

\(x^2\) の部分が \(xx_\)、\(y^2\) の部分が \(yy_\)に変わっている

だけですね。これは驚くべきことです。つまり 接点の座標さえ決まれば、元々の楕円・双曲線の方程式の一部を変えるだけですぐに接線の方程式を求められる ということですから。

放物線の接線の方程式は覚える

楕円と双曲線の接線の方程式は \(x^2\) の部分を \(xx_\)、\(y^2\) の部分を \(yy_\)に変える だけ

まとめ

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