チェビシェフ多項式

チェビシェフ多項式を紹介します。証明と漸化式の導出。応用例として数学オリンピックの過去問を解説します。

θ = π 7 , 3 π 7 , 5 π 7 \theta=\dfrac,\dfrac,\dfrac θ = 7 π ​ , 7 3 π ​ , 7 5 π ​ はそれぞれ 7 θ = ( 2 n − 1 ) π ( n = 1 , 2 , 3 ) 7\theta=(2n-1)\pi\:(n=1,2,3) 7 θ = ( 2 n − 1 ) π ( n = 1 , 2 , 3 ) を満たすのでいずれの場合も cos ⁡ 3 θ = − cos ⁡ 4 θ \cos 3\theta=-\cos 4\theta cos 3 θ = − cos 4 θ を満たす。

チェビシェフ多項式を用いて両辺を cos ⁡ θ \cos\theta cos θ だけで表す ( cos ⁡ θ = c (\cos\theta=c ( cos θ = c とおく）：

4 c 3 − 3 c = − 8 c 4 + 8 c 2 − 1 4c^3-3c=-8c^4+8c^2-1 4 c 3 − 3 c = − 8 c 4 + 8 c 2 − 1

θ = π \theta=\pi θ = π が解であること，つまり c = − 1 c=-1 c = − 1 が解であることを利用して因数分解する：

( 8 c 3 − 4 c 2 − 4 c + 1 ) ( c + 1 ) = 0 (8c^3-4c^2-4c+1)(c+1)=0 ( 8 c 3 − 4 c 2 − 4 c + 1 ) ( c + 1 ) = 0

ここで， θ = π 7 , 3 π 7 , 5 π 7 \theta=\dfrac,\dfrac,\dfrac θ = 7 π ​ , 7 3 π ​ , 7 5 π ​ はこの方程式の解であり，3つも − 1 -1 − 1 と異なるのでこの3つの解は，

8 c 3 − 4 c 2 − 4 c + 1 = 0 8c^3-4c^2-4c+1=0 8 c 3 − 4 c 2 − 4 c + 1 = 0 を満たす。

• なお，複素指数関数と等比数列の和の公式を用いた別解もあります。→三角関数の和と等比数列の公式
• この記事の内容を知っていると京大の問題がかなり簡単に解けます。→京大2023大問6とチェビシェフ多項式

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る