順像法と逆像法（自然法と逆手法）

領域問題の王道テクニック，順像法と逆像法を解説します。

実際に直線の式を計算すると y = − t 2 ( x − t ) + t 2 = − t 2 x + t 3 + t 2 \begin y &= -t^2 (x-t) + t^2\\ &= -t^2 x + t^3 + t^2 \end y ​ = − t 2 ( x − t ) + t 2 = − t 2 x + t 3 + t 2 ​ となり， t t t の3次式について考察することになります。

求める領域を C C C とする。

直線の式は y = − t 2 x + t 3 + t 2 y = -t^2 x + t^3 + t^2 y = − t 2 x + t 3 + t 2 である。

x = k x = k x = k で C C C を切ったとき，その切り口の y y y 座標は y = t 3 − ( k − 1 ) t 2 y = t^3 - (k-1) t^2 y = t 3 − ( k − 1 ) t 2 と表される。

y ′ = 3 t 2 − 2 ( k − 1 ) t = 3 t ( t − 2 3 ( k − 1 ) ) \begin y' &= 3t^2 - 2(k-1) t\\ &= 3 t \left( t - \dfrac (k-1) \right) \end y ′ ​ = 3 t 2 − 2 ( k − 1 ) t = 3 t ( t − 3 2 ​ ( k − 1 ) ) ​ であるため， t = 0 , 2 3 ( k − 1 ) t = 0 , \dfrac (k-1) t = 0 , 3 2 ​ ( k − 1 ) で極値をとる。

1. 2 3 ( k − 1 ) ≦ 0 \dfrac(k-1) \leqq 0 3 2 ​ ( k − 1 ) ≦ 0 すなわち k ≦ 1 k \leqq 1 k ≦ 1 のとき 増減表は t 0 ⋯ 1 y ′ 0 + + y 0 ↗ 2 − k \begint & 0 & \cdots & 1\\ \hline y' & 0 & + & +\\ \hline y & 0 & \nearrow & 2-k \end t y ′ y ​ 0 0 0 ​ ⋯ + ↗ ​ 1 + 2 − k ​ ​ である。
2. 0 ≦ 2 3 ( k − 1 ) ≦ 1 0 \leqq \dfrac(k-1) \leqq 1 0 ≦ 3 2 ​ ( k − 1 ) ≦ 1 すなわち 1 ≦ k ≦ 5 2 1 \leqq k \leqq \dfrac1 ≦ k ≦ 2 5 ​ のとき 増減表は t 0 ⋯ 2 3 ( k − 1 ) ⋯ 1 y ′ 0 − 0 + y 0 ↘ − 4 27 ( k − 1 ) 3 ↗ 2 − k \begint & 0 & \cdots & \dfrac(k-1) & \cdots & 1 \\ \hline y' & 0 & - & 0 & + & \\ \hline y & 0 & \searrow & -\dfrac(k-1)^3 & \nearrow & 2-k \end t y ′ y ​ 0 0 0 ​ ⋯ − ↘ ​ 3 2 ​ ( k − 1 ) 0 − 27 4 ​ ( k − 1 ) 3 ​ ⋯ + ↗ ​ 1 2 − k ​ ​ である。
3. 2 3 ( k − 1 ) ≧ 1 \dfrac(k-1) \geqq 1 3 2 ​ ( k − 1 ) ≧ 1 すなわち k ≧ 5 2 k \geqq \dfrack ≧ 2 5 ​ のとき 増減表は t 0 ⋯ 1 y ′ 0 − − y 0 ↘ 2 − k \begint & 0 & \cdots & 1\\ \hline y' & 0 & - & -\\ \hline y & 0 & \searrow & 2-k \end t y ′ y ​ 0 0 0 ​ ⋯ − ↘ ​ 1 − 2 − k ​ ​ である。

増減表を元に値域をまとめると次のようになる。 < 0 ≦ y ≦ 2 − x ( x ≦ 1 ) − 4 27 ( x − 1 ) 3 ≦ y ≦ 2 − x ( 1 ≦ x ≦ 2 ) − 4 27 ( x − 1 ) 3 ≦ y ≦ 0 ( 2 ≦ x ≦ 5 2 ) 2 − x ≦ y ≦ 0 ( 5 2 ≦ x ) \begin0 \leqq y \leqq 2-x &(x \leqq 1)\\ -\dfrac (x-1)^3 \leqq y \leqq 2-x &(1 \leqq x \leqq 2)\\ -\dfrac (x-1)^3 \leqq y \leqq 0 &\left( 2 \leqq x \leqq \dfrac \right)\\ 2-x \leqq y \leqq 0 &\left( \dfrac \leqq x \right) \end ⎩

⎧ ​ 0 ≦ y ≦ 2 − x − 27 4 ​ ( x − 1 ) 3 ≦ y ≦ 2 − x − 27 4 ​ ( x − 1 ) 3 ≦ y ≦ 0 2 − x ≦ y ≦ 0 ​ ( x ≦ 1 ) ( 1 ≦ x ≦ 2 ) ( 2 ≦ x ≦ 2 5 ​ ) ( 2 5 ​ ≦ x ) ​

+ α +\alpha + α の話～包絡線について

t t t などのパラメタに応じて動く曲線群に対して，全ての曲線と接する曲線のことを 包絡線 と言います。