材料力学
材料力学

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Calculation for design

\[ \begin (1)式 & = ( \sigma_r r + \sigma_r dr + r d \sigma_r + dr d \sigma_r ) d \theta - \sigma_r r d \theta - \sigma_t d \theta dr \\ & = \sigma_r dr d \theta + r d \sigma_r d \theta + dr d \sigma_r d \theta - \sigma_t d \theta dr \\ & \simeq ( \sigma_r dr - \sigma_t dr + r d \sigma_r ) d \theta \\ & = 0 \end \]

以上の計算から、次の微分方程式が得られます。 \[ r \frac< d \sigma_r > < dr >= \sigma_t - \sigma_r \tag \]

ところで、断面は円筒が変形しても平面を保つものと仮定すると、軸方向のひずみ\( \epsilon_z \)は一定になります。 軸方向応力を\( \sigma_z \)とおいて、\( \epsilon_z \)は次のように表せます。

\[ \frac< 1 > < E >\ < \sigma_z - \nu ( \sigma_t + \sigma_r ) \>= \epsilon_z = const \tag \] さて、円筒の両端が開放されていれば\( \sigma_z = 0 \)であるし、固定されていれば\( \sigma_z \)は

\[ \pi ( r_2^2 - r_1^2 ) \sigma_z = \pi r_2^2 p_2 - \pi r_1^2 p_1 \ \rightarrow \ \sigma_z = \frac< r_2^2 p_2 - r_1^2 p_1 > < r_2^2 - r_1^2 >\tag \]

で定まり、一定になります。 この結果を考慮して（3）式を変形することで、\( \sigma_t, \sigma_r \)の次の関係式が得られます。 \[ \sigma_t + \sigma_r = 2 \lambda = const \tag \] （2）、（5）式から\( \sigma_t \)を消去すると \[ r \frac< d \sigma_r > < dr >= 2 \lambda - 2 \sigma_r \] この両辺に\( r \)を掛ければ

\[ r^2 \frac< d \sigma_r > < dr >+ 2 r \sigma_r = 2 \lambda r \ \rightarrow \ \frac< d > < dr >( r^2 \sigma_r ) = 2 \lambda r \tag \]

が得られます。（6）式を積分定数\( C \)を用いて積分することで \[ r^2 \sigma_r = \lambda r^2 + C \tag \]

が得られます。 ここで\( \lambda , C \)を求めるために内圧と外圧の境界条件を用います。 \( r = r_1 \)のとき、\( \sigma_r = -p_1, r = r_2 \)のとき\( \sigma_r = - p_2 \)であるから

\[ \begin r_1^2 p_1 = \lambda r_1^2 + C \\ \\ r_2^2 p_2 = \lambda r_2^2 + C \end \qquad \rightarrow \qquad \begin \lambda = \displaystyle \frac< p_1 r_1^2 - p_2 r_2^2 > < r_2^2 - r_1^2 >\\ C = \displaystyle \frac< ( p_1 - p_2 ) r_1^2 r_2^2 > < r_2^2 - r_1^2 >\end \]

が得られます。 この\( \lambda, C \)を（7）式に代入することで\( \sigma_r \)が、さらにこの\( \sigma_r \)を（5）に代入すれば\( \sigma_t \)が求まります。

\[ \begin & \sigma_r = - \frac < p_1 r_1^2 ( r_2^2 - r^2 ) + p_2 r_2^2 ( r^2 - r_1^2 ) > < r^2 ( r_2^2 - r_1^2 ) >\\ & \sigma_t = \frac < p_1 r_1^2 ( r_2^2 + r^2 ) - p_2 r_2^2 ( r^2 + r_1^2 ) > < r^2 ( r_2^2 - r_1^2 ) >\end \tag \]

最後に変形量\( u \)を求めます。 周方向ひずみ\( \epsilon_t \)は周長が\( 2 \pi r \)から\( 2 \pi ( r + u ) \)に変化することから、径方向歪み\( \epsilon_r \)は

\[ \epsilon_t = \frac< 2 \pi ( r + u ) - 2 \pi r > < 2 \pi r >\ = \frac< u > < r >\tag \] 径方向歪み\( \epsilon_r \)について、\( r \)での変位\( u ( r ) \)に対して\( r + dr \)での変位\( u ( r + dr ) \)は \[ u ( r + dr ) - u( r ) \simeq \frac< du > < dr >dr \tag \] \[ \epsilon_r = \frac< ( u + \displaystyle \frac< du > < dr >dr ) - u > < dr >= \frac< du > < dr >\tag \] ひずみと応力の関係式は \[ \epsilon_r = \frac < 1 > < E >\ < \sigma_t - \nu ( \sigma_r + \sigma_z ) \>\tag \] であるから、応力の式（4）式と（9）式を上式に代入して頑張って計算すると、 \[ u = \frac< ( 1 + \nu )( p_1 - p_2 ) > < E >\frac< r_1^2 r_2^2 > < ( r_2^2 - r_1^2 ) r >+ \frac< ( 1 - \nu ) > < E >\frac< ( p_1 r_1^2 - p_2 r_2^2 ) > < ( r_2^2 - r_1^2 ) >r - \frac< \nu \sigma_z > < E >r \tag \] が得られます。 なお、軸方向応力\( \sigma_z \)は境界条件に応じて0または（8）式で定まります。

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